sabato 15 ottobre 2016

Tutorial Pallone da Calcio - Calcoli Matematici

Calcolare la misura esatta dei pentagoni ed esagoni di un pallone da calcio in base alla dimensione della sfera non è semplicissimo, ma se siete curiosi in questo post vi mostreremo i calcoli matematici attraverso cui ci siamo arrivate.


Prima di tutto occorre definire la superficie della sfera secondo la classica formula matematica:
S = 4πr2

Se non conosciamo la misura del diametro della sfera di polistirolo, il raggio ce lo ricaviamo misurando la circonferenza della sfera con un metro flessibile e applicando la formula:
r =  C 
Altrimenti basterà semplicemente dividere il diametro per 2.

A questo punto arriva la parte più complicata...



Il pallone da calcio é un solido geometrico chiamato icosaedro troncato avente 32 facce divise in 20 esagoni e 12 pentagoni con i lati della stessa misura.

La sua superficie è quindi data dalla somma delle aree degli esagoni e pentagoni, perciò è dall'area degli esagoni e dei pentagoni che bisogna partire.

L'area dell'esagono regolare di lato l, apotema a e perimetro P è data da:
{\displaystyle A={\frac {Pa}{2}}=6{\frac {al}{2}}=3al={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}l^{2}\simeq 2{,}59808\cdot l^{2}}

L'area del pentagono è la somma delle aree di 5 triangoli con base pari al lato e altezza pari all'apotema. Di seguito le formule per il calcolo dell'area in base alle lunghezze del lato s:
A={\frac  {5}{2}}s\cdot a={\frac  {5}{2}}s\cdot s{\frac  {a}{s}}={\frac  {5}{2}}s^{2}\cdot nf\simeq 1{,}7204774s^{2}

Come detto sopra, la superficie del pallone da calcio è data dalla somma delle aree degli esagoni e pentagoni, ossia:
S= 20 × (2,5980762114 × l2) + 12 × (1,7204774006 × l2)=
= (51,961524228 × l2) + (20,6457288072 × l2) =
= l2 × (51,961524228 + 20,6457288072) =
= l2 × 72,6072530352

Conoscendo quindi il valore della superficie della sfera S, la formula per ottenere la misura del lato dei poligoni sarà:
l = √(S : 72,6072530352)

Abbiamo bruciato un po' di neuroni, ma dovrebbe essere tutto corretto!
Una volta calcolata la misura del lato non resta che armarsi di compasso e righello e disegnare pentagono ed esagono come segue:


Adesso procediamo con l'esempio pratico.

Esempio:
Consideriamo una sfera avente diametro 10 cm, ciò significa che la misura del raggio è 5 cm.
Calcoliamo ora la Superficie della sfera, arrotondando per comodità tutti i valori alla seconda cifra decimale.
S = 4πr2 = 4 × 3,14 × 52 = 314
Infine calcoliamo il lato l di pentagoni ed esagoni secondo la formula che ci siamo ricavate.
l = √(S : 72,61) = √(314 : 72,61) = 2,08

Ora costruiamo con del cartoncino le sagome di un pentagono ed un esagono aventi il lato di 2,08 cm che utilizzeremo per realizzare 12 esagoni bianchi e 20 pentagoni neri con i quali rivestiremo alla perfezione la sfera di polistirolo.
Ed ecco il risultato!!!

Per quelli che invece odiano la matematica, potete cliccare ➡qui, dove troverete un tool di calcolo automatico per il lato dei poligoni partendo dalla misura del diametro della sfera.




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16 commenti:

  1. Complimenti e grazie, siete stati geniali. Risultato perfetto... Grazie ancora Alessandro

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    1. Grazie mille Alessandro!!!
      Ci siamo un po' intrecciate il cervello ma ci piace capire quello che facciamo. ^_^

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  2. Niente.. mi sto incastrando... ho un polistirolo da 18 di diametro.. aiuto

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    1. Tranquilla Eleonora! ^_^
      Questo post lo abbiamo fatto per chi ama la matematica, ma per gli altri c'è questo: ➡http://ottomiky.blogspot.com/2016/10/tutorial-pallone-da-calcio-e-scarpini.html
      Qui troverai una casella dove inserire la misura del polistirolo, e ti calcolerà automaticamente la misura dei poligoni.
      Fammi sapere se ci sei riuscita.

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  3. La.misura del polistirolo e di 61,5

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  4. Ciao io una palla in polistirolo di diametro 12, facendo il vostro calcolo mi viene il lato 2.50. Quanti esagono e quanti pentagono devo fare? Entrambi le figure hanno i lati in cm uguali ma la loro altezza nn è la stessa, funziona lo stesso?

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    1. Ciao, il calcolo è corretto e qui nel post trovi tutte le informazioni che mi hai chiesto: come puoi vedere dallo schema per la costruzione delle forme geometriche, l'esagono viene più alto del pentagono perché ha un lato in più, e devi fare 20 esagoni e 12 pentagoni da assemblare secondo lo schema. ^_^

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  5. Dovendo trattare L icosaedro troncato in una tesina come dovrei procedere?

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  6. Ho una sfera di 25 cm potreste aiutarmi con le misure degli esagoni e pentagoni per misura e quantità la quantità.
    Grazie

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  7. Ciao io ho una sfera in polistirolo da 50mm, quanti esaagoni e Pentagoni devo fare? Come faccio a calcolare i lati?

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    1. Ciao Fabiola, devi fare 20 esagoni e 12 pentagoni di 10,4 mm di lato se la sfera è da 50 mm di diametro.

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  8. Ciao,io ho una palla diametro 12 cm. Vorrei sapere quanto devono misurare i pentagono e gli esagono. Grazie ☺️

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    1. Per un diametro di 12 cm il lato dei pentagoni ed esagoni sarà di 2,50 cm.
      Comunque abbiamo creato un tool di calcolo automatico, che puoi trovare qui: ➡https://ottomiky.blogspot.com/2016/10/tutorial-pallone-da-calcio-e-scarpini.html

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  9. Ciao, ho una sfera di polistirolo da 16 cm di diametro...dal calcolo dovrebbe essere 3.33?

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  10. Ciao la mia sfera è da 15 come risultato per ogni lato abbiamo 3.12 ma devo arrotondare a 3 centimetri?

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