sabato 15 ottobre 2016

Tutorial Pallone da Calcio - Calcoli Matematici

Calcolare la misura esatta dei pentagoni ed esagoni di un pallone da calcio in base alla dimensione della sfera non è semplicissimo, ma se siete curiosi in questo post vi mostreremo i calcoli matematici attraverso cui ci siamo arrivate.


Prima di tutto occorre definire la superficie della sfera secondo la classica formula matematica:
S = 4πr2

Se non conosciamo la misura del diametro della sfera di polistirolo, il raggio ce lo ricaviamo misurando la circonferenza della sfera con un metro flessibile e applicando la formula:
r =  C 
Altrimenti basterà semplicemente dividere il diametro per 2.

A questo punto arriva la parte più complicata...



Il pallone da calcio é un solido geometrico chiamato icosaedro troncato avente 32 facce divise in 20 esagoni e 12 pentagoni con i lati della stessa misura.

La sua superficie è quindi data dalla somma delle aree degli esagoni e pentagoni, perciò è dall'area degli esagoni e dei pentagoni che bisogna partire.

L'area dell'esagono regolare di lato l, apotema a e perimetro P è data da:
{\displaystyle A={\frac {Pa}{2}}=6{\frac {al}{2}}=3al={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}l^{2}\simeq 2{,}59808\cdot l^{2}}

L'area del pentagono è la somma delle aree di 5 triangoli con base pari al lato e altezza pari all'apotema. Di seguito le formule per il calcolo dell'area in base alle lunghezze del lato s:
A={\frac  {5}{2}}s\cdot a={\frac  {5}{2}}s\cdot s{\frac  {a}{s}}={\frac  {5}{2}}s^{2}\cdot nf\simeq 1{,}7204774s^{2}

Come detto sopra, la superficie del pallone da calcio è data dalla somma delle aree degli esagoni e pentagoni, ossia:
S= 20 × (2,5980762114 × l2) + 12 × (1,7204774006 × l2)=
= (51,961524228 × l2) + (20,6457288072 × l2) =
= l2 × (51,961524228 + 20,6457288072) =
= l2 × 72,6072530352

Conoscendo quindi il valore della superficie della sfera S, la formula per ottenere la misura del lato dei poligoni sarà:
l = √(S : 72,6072530352)

Abbiamo bruciato un po' di neuroni, ma dovrebbe essere tutto corretto!
Una volta calcolata la misura del lato non resta che armarsi di compasso e righello e designare pentagono ed esagono come segue:


Adesso procediamo con l'esempio pratico.

Esempio:
Consideriamo una sfera avente diametro 10 cm, ciò significa che la misura del raggio è 5 cm.
Calcoliamo ora la Superficie della sfera, arrotondando per comodità tutti i valori alla seconda cifra decimale.
S = 4πr2 = 4 × 3,14 × 52 = 314
Infine calcoliamo il lato l di pentagoni ed esagoni secondo la formula che ci siamo ricavate.
l = √(S : 72,61) = √(314 : 72,61) = 2,08

Ora costruiamo con del cartoncino le sagome di un pentagono ed un esagono aventi il lato di 2,08 cm che utilizzeremo per realizzare 12 esagoni bianchi e 20 pentagoni neri con i quali rivestiremo alla perfezione la sfera di polistirolo.
Ed ecco il risultato!!!
Per vedere il tutorial completo di questo progetto cliccare qui.



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2 commenti:

  1. Complimenti e grazie, siete stati geniali. Risultato perfetto... Grazie ancora Alessandro

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    1. Grazie mille Alessandro!!!
      Ci siamo un po' intrecciate il cervello ma ci piace capire quello che facciamo. ^_^

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